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8 de julio de 2010

GRIGORY Y LA CONJETURA DE POINCARÉ


Por: Felipe Argote

Por estar viendo el mundial de futbol no terminé lo que venía por años desarrollando y estaba a punto de concluir: resolver la conjetura de Poincaré. Debido a mi negligencia Grigori Parelman, un matemático ruso de 44 años, se me adelantó resolviendo el enigma.

No me hubiera preocupado mucho si no fuera porque el Instituto Clay de Matemáticas había ofrecido un millón de dólares a quien resolviera la conjetura.

No era tan difícil. En 1904, un francés llamado Henri Poincaré elaboró la conjetura que el resultado que se obtiene para la esfera n=2 del espacio de dimensión 3 tenía un análogo para la esfera n=3 del espacio de dimensión 4. En otras palabras, en el espacio de dimensión 4, toda variedad de dimensión n=3, cerrada y simplemente conexa, sería homeomorfa a la esfera de dimensión n=3. Pero Poincaré, el matemático que desarrolló la llamada teoría de la relatividad restringida luego desarrollada por Einstein en su teoría de la relatividad, nacido en Meurthe-et-Moselle, Nancy, Francia, no consiguió comprobar su conjetura. Esto fue hace más de 100 años, en 1904. Desde ese momento no se había podido confirmar la conjetura hasta que Gorigori Parelman la resolvió. Tal vez tampoco esto hubiera sido noticia si no fuera porque el excéntrico doctor rechazo el premio de un millón de dólares.

No es la primera vez que Parelman rechaza un premio. Ya en 2006 había rechazado el premio otorgado por la Unión Matemática Internacional a matemáticos menores de 40 años por su contribución a la disciplina.

Grigori Perelmán nació en San Petersburgo en 1966 en una familia judía. En 1982, a la edad de 16 años representó a la extinta Unión Soviética en las olimpiadas internacionales de matemáticas en donde ganó la medalla de oro. Al final de los ochenta obtuvo un doctorado en la Universidad de Leningrado. Su tesis: superficies en silla en espacios euclideos. Dictó cátedras en el instituto Steklov en Rusia, luego se trasladò a dictar clases en las universidades de Nueva York, de Stony Brook y de Berkely. Pero en 1995 regresó a la universidad de Steklov.

Actualmente se dice que Grigori Perelman está desempleado, pues se ha retirado de toda actividad vinculada a las matemáticas debido a su decepción sobre la ética de la comunidad matemática en general. Más aun la solución de la conjetura de Pointcaré no la publicó en ninguna revista científica sino en un sitio de internet.

Para tener una idea de lo que estamos hablando tendremos que decir que para nosotros existen comúnmente cuatro dimensiones, tres espaciales y una temporal. Si dibujamos un cuadrado tenemos dos dimensiones. Si en cambio dibujamos un cubo serán tres dimensiones. La cuarta dimensión es el tiempo. Luego utilicemos un artículo muy actual: un balón de fútbol. Esta es una esfera de dos dimensiones en un espacio tridimensional. Tiene ancho y largo pero no profundidad. Este es un caso de dimensión dos. Cada pedazo de la esfera no es otra cosa que un trozo plano ligeramente curvado conexo. El término utilizado para que suene más complicado es homeomórfica. Entonces solamente existe una sola variedad homeomómorfica de dimensión n=2 cerrada y conexa: esta es la esfera o el balón de futbol. ¿Qué tal?

Para comprobarlo imagínate que la rodeamos de algo muy elástico como un gran chicle. Si podemos comprimirlo hasta convertirlo en un punto sin salirnos de la superficie tenemos una esfera dos y se trata de una superficie conexa.

El problema es que Henri Poincaré presentó en 1904 la conjetura que este resultado obtenido para una esfera dos, un balón de futbol por ejemplo, en un espacio de tres dimensiones, tenía un análogo en un espacio de dimensión cuatro en una esfera de dimensión 3. Por supuesto que esto se complica al punto que es muy difícil dibujarlo, pero trataremos de hacerlo. Así se debe ver:

Esto se convirtió en uno de los mayores problemas de las matemáticas con implicaciones por supuesto en la física y la geometría hasta que por fin el amigo Grigori nos desembarazó de este pesado fardo. Ya podemos descansar de este problema y volver a nuestras apacibles vidas. Hasta San Petersburgo donde vive retirado con su madre a la edad de… 44 años le decimos:

Gracias Grigori



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